본격적으로 2차원 운동을 다루기 전, 벡터의 내적에 대해서도 간단히 짚고 넘어가겠습니다.
내적은 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 투영되는지를 수치로 나타내는 연산입니다.
즉, 두 벡터의 내적은 다음과 같이 정의됩니다. 이때 $\theta$는 두 벡터 사이의 각을 나타냅니다.
$$ \vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta $$
일 $W=Fs\cos\theta$을 떠올리셔도 좋겠습니다. 2차원 운동에서는 보통 내적의 기하적인 의미를 이용합니다.
또한, 두 벡터 $\vec{A}=(a, b),\ \vec{B}=(c,d)$에 대해, 두 벡터의 내적은 $ac+bd$로 구할 수 있습니다. 증명은 코사인 법칙을 통해 할 수 있으며, [부록]에 소개해두었습니다.
또한, 단위 벡터에 대해서도 간단히 소개하고 넘어갑시다. 단위 벡터는 크기가 $1$인 벡터를 뜻하고, $\vec{A}$와 방향이 같은 단위 벡터는 $\hat{A}$로 나타냅니다.
2차원 운동은 한번에 보면 복잡해 보이지만, 독립적인 2개의 1차원 운동으로 이해할 수 있습니다.
즉, 임의의 물체의 위치, 속도, 가속도 등을 서로 직교하는 두 축으로 나누어서 이해할 수 있고, 이때 두 축의 운동은 서로 영향을 주지 않습니다.
따라서, 포물선 운동도 $x$축의 등속도 운동과 $y$축의 등가속도 운동으로 나누어 이해할 수 있습니다.
중력만 작용하는 상황에서 물체가 받는 가속도는 $\vec{a}=(0, -g)$입니다.
물체의 처음 속도 $\vec{v_{0}}$을 $(v_{x}, v_{y})$라고 할 때, 시간 $t$ 이후 물체의 속도 $\vec{v}$는 $(v_{x}, v_{y}-gt)$입니다. 즉, 물체의 $x$축 방향 속도는 변하지 않고, $y$축 방향 속도는 선형적으로 변합니다.
마찬가지로, 등가속도 운동 공식을 적용하면 변위 $\Delta\vec{r}(t)$는 $\displaystyle(v_{x}t, v_{y}t-\frac{1}{2}gt^{2})$입니다.
이제 이러한 결과를 바탕으로 교과서 상의 포물선 운동에서의 기본 공식을 유도해봅시다.
<aside> ✅
포물선 운동에서는 $\displaystyle\vec{v}=(v_{x}, v_{y}-gt), \ \Delta\vec{r}=(v_{x}t, v_{y}t-\frac{1}{2}gt^{2})$이 성립한다.
</aside>
먼저, 물체가 정지 상태에서 높이 $H$만큼 자유 낙하할 때 걸리는 시간 $t_0$를 구해봅시다.