본격적으로 2차원 운동을 다루기 전, 본 칼럼에서는 내적에 대한 내용까지 소개하려 합니다.
우선, 내적은 다음과 같이 정의됩니다.
$\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|cos\theta$
여기서 $|\vec{A}|$는 $\vec{A}$의 크기, $\theta$는 두 벡터가 이루는 각을 의미합니다.
즉, 내적은 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 투영되는지를 수치로 나타내는 연산입니다.
또한, 두 벡터 $\vec{A}=(a, b), \vec{B}=(c,d)$에 대해, 두 벡터의 내적은 $ac+bd$로 구할 수 있습니다.
증명은 코사인 법칙을 통해 할 수 있으며, [부록]에 소개해두었습니다.
또한, 단위 벡터에 대해서도 간단히 소개하고 넘어갑시다.
단위 벡터는 크기가 1인 벡터이고, $\vec{A}$와 방향이 같은 단위 벡터는 $\hat{A}$으로 표기합니다.
2차원 운동은 한번에 보면 복잡해 보이지만, 독립적인 2개의 1차원 운동으로 이해할 수 있습니다.
즉, 임의의 물체의 위치, 속도, 가속도 등을 서로 직교하는 두 축으로 나누어서 이해할 수 있고,
이때 두 축의 운동은 서로 영향을 주지 않습니다.
따라서, 포물선 운동도 $x$축의 등속도 운동과 $y$축의 등가속도 운동으로 나누어 이해할 수 있습니다.
중력만 작용하는 상황에서 물체가 받는 가속도는 $\vec{a}=(0, -g)$입니다.
물체의 처음 속도 $\vec{v_{0}}$을 $(v_{x}, v_{y})$라고 할 때, 시간 $t$ 이후 물체의 속도 $\vec{v}$는 $(v_{x}, v_{y}-gt)$입니다.
즉, 물체의 $x$축 방향 속도는 변하지 않고, $y$축 방향 속도는 선형적으로 변합니다.
마찬가지로, 등가속도 운동 공식을 적용하면 변위 $\Delta\vec{r}(t)$는 $(v_{x}t, v_{y}t-\frac{1}{2}gt^{2})$입니다.